Puertas lógicas y tablas de verdad

Introducción

Un procesador moderno contiene miles de millones de transistores, pero todo lo que hace se reduce a combinar unas pocas operaciones lógicas muy simples. Esas operaciones se implementan con puertas lógicas, los ladrillos con los que se construye cualquier circuito digital: desde una alarma hasta una CPU.

En este artículo aprenderás qué hace cada puerta, a leer un circuito y construir su tabla de verdad, por qué NAND y NOR son puertas «universales» y cómo pasar de una tabla de verdad a una expresión lógica. Conviene haber visto antes el artículo de álgebra de Boole, porque cada puerta corresponde a una de sus operaciones.

1. ¿Qué es una puerta lógica?

Una puerta lógica es un circuito con una o dos entradas y una salida. Las señales son digitales: un nivel de tensión alto representa un 1 y uno bajo representa un 0. La salida depende únicamente de las entradas en ese instante, y su comportamiento se describe con una tabla de verdad, que enumera todas las combinaciones de entradas y el resultado de cada una.

2. Las siete puertas básicas

Símbolos de las siete puertas. La negación se dibuja siempre con un pequeño círculo.

La tabla de verdad de las seis puertas de dos entradas se resume así:

• NOT (inversor): invierte la entrada. Es la única con una sola entrada: si $A = 0$ la salida es 1 y viceversa.
• AND: salida 1 solo si todas las entradas valen 1.
• OR: salida 1 si alguna entrada vale 1.
• NAND y NOR: son un AND y un OR seguidos de un NOT. Dan justo el resultado contrario.
• XOR (o exclusivo): salida 1 si las entradas son distintas; «uno u otro, pero no ambos».
• XNOR: salida 1 si las entradas son iguales; es la negación del XOR.

3. Cómo leer un circuito y hacer su tabla de verdad

Un circuito se lee de izquierda a derecha: la salida de una puerta alimenta la entrada de la siguiente. Para obtener su tabla de verdad se añade una columna por cada puerta intermedia y se calcula fila a fila.

Ejemplo resuelto 1. Construye la tabla de verdad de $F = A \cdot B + \overline{C}$.

El circuito tiene una puerta AND (con A y B), un inversor (con C) y una puerta OR que une los dos resultados. Como hay tres variables, la tabla tiene $2^3 = 8$ filas:

La salida vale 0 solo en las filas en las que $C = 1$ y además $A \cdot B = 0$.

4. Puertas universales: NAND y NOR

Con solo puertas NAND (o solo NOR) se puede construir cualquier otra puerta. Por eso se llaman universales y por eso los chips reales se fabrican con muy pocos tipos de puerta.

• NOT a partir de NAND: $\overline{A \cdot A} = \overline{A}$. Basta unir las dos entradas.
• AND a partir de NAND: $A \cdot B = \overline{\overline{A \cdot B}}$, es decir, un NAND seguido de un inversor (otro NAND con las entradas unidas).
• OR a partir de NAND: por De Morgan, $A + B = \overline{\overline{A} \cdot \overline{B}}$: se niegan las entradas y se pasan por un NAND.

Ejemplo resuelto 2. Comprueba que una puerta NAND con las dos entradas unidas se comporta como un inversor.

Con las entradas unidas solo existen dos casos, y la salida es siempre la contraria de $A$: es un NOT.

5. Un circuito real: el semisumador

Sumar dos bits es la operación más básica de una calculadora, y se construye con dos puertas. La suma de dos bits puede dar 0, 1 o 10 en binario (2 en decimal). El bit de la derecha es la suma $S$ y el de la izquierda es el acarreo $C$:

$S = A \oplus B$

$C = A \cdot B$

Una puerta XOR calcula la suma y una puerta AND calcula el acarreo. Encadenando varios de estos bloques (con el acarreo de entrada añadido, lo que se llama sumador completo) se suman números de cualquier cantidad de bits. Es la conexión directa con el artículo de sistemas de numeración.

6. De la tabla de verdad a la expresión

A veces se parte de la tabla (el comportamiento deseado) y hay que encontrar el circuito. Un método general es la suma de productos: se escribe un producto (AND) por cada fila donde la salida vale 1, negando las variables que valen 0 en esa fila, y se suman todos (OR).

Ejemplo resuelto 3. Diseña un circuito de «mayoría» con tres entradas: la salida es 1 cuando al menos dos entradas valen 1.

La salida vale 1 en las filas 011, 101, 110 y 111, así que:

$M = \overline{A}\,B\,C + A\,\overline{B}\,C + A\,B\,\overline{C} + A\,B\,C$

Se puede simplificar repitiendo el último término (la idempotencia permite $A\,B\,C = A\,B\,C + A\,B\,C + A\,B\,C$) y agrupándolo con cada uno de los otros tres: $\overline{A}BC + ABC = BC$, $A\overline{B}C + ABC = AC$ y $AB\overline{C} + ABC = AB$. Queda:

$M = A\,B + A\,C + B\,C$

Solo hacen falta tres puertas AND de dos entradas y una OR de tres entradas, en lugar de cuatro AND de tres entradas.

7. Errores frecuentes

• ⚠️ Confundir OR con XOR. OR da 1 también cuando las dos entradas valen 1; XOR da 0 en ese caso. Es la única fila en la que se distinguen.
• ⚠️ Olvidar el círculo de negación. Una puerta con círculo a la salida (NAND, NOR, XNOR) da el resultado contrario a la de sin círculo.
• ⚠️ Calcular la tabla de verdad sin columnas intermedias. Es la causa más habitual de errores: añade una columna por cada puerta y calcula fila a fila.
• ⚠️ Pensar que NAND es «no AND» solo para una entrada. NAND niega el resultado de toda la operación AND: $\overline{A \cdot B}$ no es $\overline{A} \cdot \overline{B}$.
• ⚠️ Dejar entradas sin conectar. En un circuito real, una entrada sin conectar da un valor indeterminado. Todas las entradas deben tener un nivel definido.

8. 📌 En 30 segundos

1. Una puerta lógica es un circuito cuya salida depende solo de sus entradas; su comportamiento se resume en una tabla de verdad.
2. AND: todas a 1. OR: alguna a 1. XOR: entradas distintas. NOT invierte. NAND, NOR y XNOR son las contrarias de AND, OR y XOR.
3. Un circuito se lee de izquierda a derecha; la tabla de verdad se calcula con una columna por puerta.
4. NAND y NOR son universales: con una sola de ellas se construye cualquier circuito.
5. El semisumador suma dos bits con un XOR (suma) y un AND (acarreo).

Para seguir estudiando

• Álgebra de Boole: operaciones, leyes y simplificación
• Sistemas de numeración: binario y hexadecimal
• Representación de la información: texto, imágenes y sonido