Álgebra de Boole: operaciones, leyes y simplificación

Introducción

Cuando un ordenador decide si una contraseña es correcta, si un sensor activa una alarma o si un programa entra en un if, trabaja con algo muy sencillo: valores que solo pueden ser verdadero o falso. El álgebra de Boole es la matemática que permite manejar esos valores, y es la base tanto de los circuitos digitales como de las condiciones de cualquier lenguaje de programación.

En este artículo aprenderás las tres operaciones básicas, las leyes del álgebra de Boole, a simplificar expresiones paso a paso y a comprobar tus resultados con tablas de verdad. Es el paso previo al artículo de puertas lógicas, donde estas expresiones se convierten en circuitos.

1. Variables y operaciones básicas

Una variable booleana solo toma dos valores: 0 (falso) o 1 (verdadero). Con ellas se definen tres operaciones fundamentales:

• AND (producto lógico), se escribe $A \cdot B$: vale 1 solo si las dos variables valen 1.
• OR (suma lógica), se escribe $A + B$: vale 1 si al menos una variable vale 1.
• NOT (negación), se escribe $\overline{A}$: invierte el valor; si $A = 1$ entonces $\overline{A} = 0$.

AND es la intersección, OR es la unión y NOT es el complementario.

2. Leyes del álgebra de Boole

Estas son las propiedades que se usan para simplificar. Cada ley se cumple tanto en su versión con AND como en su versión con OR:

• Identidad: $A + 0 = A$ y $A \cdot 1 = A$.
• Elemento nulo: $A + 1 = 1$ y $A \cdot 0 = 0$.
• Idempotencia: $A + A = A$ y $A \cdot A = A$.
• Complemento: $A + \overline{A} = 1$ y $A \cdot \overline{A} = 0$.
• Doble negación: $\overline{\overline{A}} = A$.
• Conmutativa: $A + B = B + A$ y $A \cdot B = B \cdot A$.
• Asociativa: $(A + B) + C = A + (B + C)$ y $(A \cdot B) \cdot C = A \cdot (B \cdot C)$.
• Distributiva: $A \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C$ y también $A + B \cdot C = (A + B) \cdot (A + C)$.
• Absorción: $A + A \cdot B = A$ y $A \cdot (A + B) = A$.

3. Leyes de De Morgan

Permiten «romper» una negación larga. Negar un AND equivale a un OR de las negaciones, y negar un OR equivale a un AND de las negaciones:

$\overline{A \cdot B} = \overline{A} + \overline{B}$

$\overline{A + B} = \overline{A} \cdot \overline{B}$

Se ve con un ejemplo de programación: la condición «no (tener 18 años y tener carnet)» equivale a «ser menor de 18 o no tener carnet». Comprobemos la segunda ley con una tabla de verdad: las columnas de $\overline{A+B}$ y de $\overline{A} \cdot \overline{B}$ tienen que coincidir en todas las filas.

Las columnas ¬(A+B) y ¬A·¬B son idénticas fila a fila (1, 0, 0, 0 de arriba abajo), así que las dos expresiones son equivalentes.

4. Cómo simplificar una expresión

Un método que funciona casi siempre tiene tres pasos:

1. Si hay negaciones sobre paréntesis, aplica De Morgan para dejar la negación solo sobre variables.
2. Busca factores comunes y sácalos con la ley distributiva.
3. Aplica complemento, idempotencia, elemento nulo y absorción hasta que no puedas simplificar más.

5. Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Simplifica $F = A \cdot B + A \cdot \overline{B}$.

Sacamos factor común $A$ con la ley distributiva:

$F = A \cdot (B + \overline{B})$

Aplicamos el complemento, $B + \overline{B} = 1$, y la identidad:

$F = A \cdot 1 = A$

Ejemplo 2. Simplifica $F = A + \overline{A} \cdot B$. Aquí se usa la segunda forma de la distributiva:

$F = (A + \overline{A}) \cdot (A + B)$

$F = 1 \cdot (A + B) = A + B$

Ejemplo 3. Simplifica $F = \overline{A \cdot B} + A$. Primero De Morgan para eliminar la negación larga:

$F = \overline{A} + \overline{B} + A = (A + \overline{A}) + \overline{B} = 1 + \overline{B} = 1$

La expresión vale siempre 1: es una tautología, da igual cuánto valgan A y B.

Ejemplo 4. Simplifica $F = A \cdot B + A \cdot B \cdot C + \overline{A} \cdot B$. Se saca factor común $B$ y se aplica absorción:

$F = A \cdot B \cdot (1 + C) + \overline{A} \cdot B = A \cdot B + \overline{A} \cdot B$

$F = B \cdot (A + \overline{A}) = B \cdot 1 = B$

6. De un enunciado a una expresión

Traducir un problema real a álgebra de Boole es la habilidad más útil. Ejemplo: «una alarma suena si la puerta está abierta (P) y el sistema está activado (S), o si el sensor detecta humo (H)». La expresión es:

$Z = P \cdot S + H$

Si ahora queremos saber cuándo no suena, negamos la expresión y aplicamos De Morgan dos veces:

$\overline{Z} = \overline{P \cdot S + H} = \overline{P \cdot S} \cdot \overline{H} = (\overline{P} + \overline{S}) \cdot \overline{H}$

Es decir: no suena cuando no hay humo y además falta la puerta abierta o el sistema activado.

7. Errores frecuentes

• ⚠️ Creer que 1 + 1 = 2. En álgebra de Boole el resultado es 1: solo hay dos valores posibles, el 0 y el 1.
• ⚠️ Negar cada variable sin cambiar el operador. $\overline{A \cdot B}$ no es $\overline{A} \cdot \overline{B}$: con De Morgan el AND se convierte en OR, y el OR en AND.
• ⚠️ Ignorar la prioridad de las operaciones. NOT se aplica primero, después AND y por último OR. Por eso $A + B \cdot C$ no es lo mismo que $(A + B) \cdot C$.
• ⚠️ Simplificar «tachando» como en el álgebra normal. Cada simplificación debe apoyarse en una ley concreta. Por ejemplo, $A + A \cdot B = A$ se justifica por la absorción.
• ⚠️ Confundir los dos complementos. $A \cdot \overline{A} = 0$ y $A + \overline{A} = 1$. Es fácil cambiarlos si no se piensa en el significado.

8. 📌 En 30 segundos

1. Las variables solo valen 0 o 1; las operaciones son AND ($\cdot$), OR ($+$) y NOT (barra).
2. En Boole, $A + 1 = 1$, $A \cdot 0 = 0$, $A + \overline{A} = 1$ y $A \cdot \overline{A} = 0$.
3. De Morgan: negar un AND da un OR de negaciones y negar un OR da un AND de negaciones.
4. Para simplificar: aplica De Morgan, saca factor común y usa complemento, idempotencia y absorción.
5. Con $n$ variables, la tabla de verdad tiene $2^n$ filas; sirve para comprobar cualquier simplificación.

Para seguir estudiando

• Puertas lógicas y tablas de verdad
• Sistemas de numeración: binario y hexadecimal
• Introducción a algoritmos y pseudocódigo