Derivadas: reglas de derivación y ejemplos resueltos

Introducción

La derivada es una de las ideas más potentes de las matemáticas: mide cómo de rápido cambia una magnitud. Es la velocidad cuando derivas la posición, la pendiente de una curva en un punto o el ritmo al que crece una población. Es la base del cálculo, de la física y de buena parte de la ingeniería, y es imprescindible en 2.º de Bachillerato.

En este artículo aprenderás qué es la derivada, la tabla de derivadas básicas, las reglas para derivar sumas, productos, cocientes y funciones compuestas, y cómo usarla para hallar la recta tangente a una curva, todo con ejemplos resueltos. Después podrás aplicarla en el estudio de funciones, como se explica en el artículo de dominio, continuidad y derivabilidad. Para consultar rápido, tienes la tabla de derivadas en la sección de material.

1. ¿Qué es la derivada?

La derivada de $f$ en un punto $x$ es la pendiente de la recta tangente a la gráfica en ese punto. Se define como el límite de la pendiente de rectas secantes cada vez más próximas:

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

Ejemplo. Calcula la derivada de $f(x) = x^2$ con la definición:

$\lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2 - x^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2}{h} = \lim_{h \to 0} (2x + h) = 2x$

En la práctica no se calcula el límite cada vez: se usan una tabla y unas reglas, que veremos a continuación.

2. Derivadas básicas

• Constante: $f(x) = k \Rightarrow f'(x) = 0$
• Potencia: $f(x) = x^n \Rightarrow f'(x) = n\,x^{n-1}$ (vale para $n$ entero, fraccionario o negativo)
• Raíz cuadrada: $f(x) = \sqrt{x} \Rightarrow f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
• Inverso: $f(x) = \dfrac{1}{x} \Rightarrow f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}$
• Exponencial: $f(x) = e^x \Rightarrow f'(x) = e^x$ y $f(x) = a^x \Rightarrow f'(x) = a^x \ln a$
• Logaritmo: $f(x) = \ln x \Rightarrow f'(x) = \dfrac{1}{x}$ y $f(x) = \log_a x \Rightarrow f'(x) = \dfrac{1}{x \ln a}$
• Seno y coseno: $(\sin x)' = \cos x$ y $(\cos x)' = -\sin x$
• Tangente: $(\tan x)' = 1 + \tan^2 x = \dfrac{1}{\cos^2 x}$
• Arco tangente: $(\arctan x)' = \dfrac{1}{1 + x^2}$

3. Reglas de derivación

• Suma y constante: $(f \pm g)' = f' \pm g'$ y $(k \cdot f)' = k \cdot f'$.
• Producto: $(f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'$.
• Cociente: $\left(\dfrac{f}{g}\right)' = \dfrac{f' \cdot g - f \cdot g'}{g^2}$.
• Regla de la cadena (composición): $\big(f(g(x))\big)' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

4. Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: polinomio. Deriva $f(x) = 3x^4 - 5x^2 + 7x - 2$. Se deriva término a término con la regla de la potencia; la derivada de la constante es 0:

$f'(x) = 12x^3 - 10x + 7$

Ejemplo 2: producto. Deriva $f(x) = x^2 e^x$. Con $u = x^2$ y $v = e^x$:

$f'(x) = 2x \cdot e^x + x^2 \cdot e^x = e^x\,(x^2 + 2x)$

Ejemplo 3: cociente. Deriva $f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x - 1}$:

$f'(x) = \frac{2x\,(x-1) - (x^2+1)\cdot 1}{(x-1)^2} = \frac{2x^2 - 2x - x^2 - 1}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 1}{(x-1)^2}$

Ejemplo 4: cadena con seno. Deriva $f(x) = \sin(3x^2)$. La función exterior es el seno y la interior $3x^2$, cuya derivada es $6x$:

$f'(x) = \cos(3x^2) \cdot 6x = 6x\cos(3x^2)$

Ejemplo 5: cadena con logaritmo. Deriva $f(x) = \ln(x^2 + 1)$. La derivada de $\ln u$ es $u'/u$:

$f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}$

Ejemplo 6: cadena con raíz. Deriva $f(x) = \sqrt{4x + 1}$. Como $(\sqrt{u})' = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$:

$f'(x) = \frac{4}{2\sqrt{4x+1}} = \frac{2}{\sqrt{4x+1}}$

5. Aplicación: la recta tangente

La recta tangente a $y = f(x)$ en el punto de abscisa $a$ pasa por $(a, f(a))$ y tiene pendiente $f'(a)$. Su ecuación es:

$y - f(a) = f'(a)\,(x - a)$

Ejemplo resuelto. Halla la recta tangente a $f(x) = x^3 - 2x$ en $x = 2$.

1. El punto: $f(2) = 2^3 - 2 \cdot 2 = 8 - 4 = 4$, es decir, el punto $(2, 4)$.
2. La derivada: $f'(x) = 3x^2 - 2$, y la pendiente en $x = 2$ es $f'(2) = 3 \cdot 4 - 2 = 10$.
3. La recta: $y - 4 = 10\,(x - 2)$, que simplificada es $y = 10x - 16$.

La recta tangente toca la curva en (2, 4) y tiene la pendiente que da la derivada.

6. Derivadas sucesivas

Como la derivada es otra función, se puede volver a derivar: la segunda derivada $f''$ mide cómo cambia la pendiente y describe la curvatura de la gráfica ($f'' > 0$: curva hacia arriba; $f'' < 0$: curva hacia abajo). En física, si $x(t)$ es la posición, $x'(t)$ es la velocidad y $x''(t)$ la aceleración; lo explicamos en el artículo de posición, velocidad y aceleración.

7. Errores frecuentes

• ⚠️ Derivar un producto como producto de derivadas. $(f \cdot g)'$ no es $f' \cdot g'$. Hay que usar $f'g + fg'$
• ⚠️ Olvidar la regla de la cadena. $(\sin 3x)'$ es $3\cos 3x$, no $\cos 3x$: falta multiplicar por la derivada de lo de dentro
• ⚠️ Cambiar el orden en el cociente. El numerador es $f'g - fg'$ y el signo menos hace que el orden importe
• ⚠️ Derivar $e^x$ como $x\,e^{x-1}$. La regla de la potencia solo vale cuando la variable está en la base; en $e^x$ la variable está en el exponente y su derivada es $e^x$
• ⚠️ Derivar una constante y obtener la constante. La derivada de cualquier constante es 0, y $k \cdot f$ se deriva como $k \cdot f'$

8. 📌 En 30 segundos

1. La derivada $f'(a)$ es la pendiente de la recta tangente en $x = a$ y el ritmo de cambio instantáneo de $f$.
2. Potencia: $(x^n)' = nx^{n-1}$. Además: $(e^x)' = e^x$, $(\ln x)' = 1/x$, $(\sin x)' = \cos x$, $(\cos x)' = -\sin x$.
3. Producto: $f'g + fg'$. Cociente: $(f'g - fg')/g^2$. Cadena: $f'(g)\cdot g'$.
4. Recta tangente en $x = a$: $y - f(a) = f'(a)(x - a)$.
5. La segunda derivada indica la curvatura; en física, posición → velocidad → aceleración.

Para seguir estudiando

• Dominio, continuidad y derivabilidad de una función
• Funciones definidas a trozos: continuidad y derivabilidad (ejercicios resueltos)
• Integrales: indefinida, definida y cálculo de áreas