Dominio, continuidad y derivabilidad de una función

Introducción

Antes de estudiar el comportamiento de una función (crecimiento, máximos, mínimos, asíntotas...) necesitas responder tres preguntas básicas: ¿dónde existe la función?, ¿se puede dibujar sin levantar el lápiz? y ¿tiene una recta tangente bien definida en cada punto? Eso es exactamente el dominio, la continuidad y la derivabilidad.

En este artículo vas a aprender a calcular el dominio de los tipos de función más habituales, a estudiar la continuidad de una función (incluida una función a trozos) y a entender la relación —muy preguntada en examen— entre continuidad y derivabilidad.

1. Dominio de una función

El dominio de una función f es el conjunto de valores de x para los que f(x) existe (da un resultado real). Depende del tipo de función:

Ejemplo 1: función racional

Halla el dominio de f(x) = 1 / (x − 2).

El denominador no puede ser 0:

$x - 2 \neq 0 \quad\Rightarrow\quad x \neq 2$

Ejemplo 2: raíz de índice par

Halla el dominio de f(x) = √(x − 3).

El radicando debe ser mayor o igual que 0:

$x - 3 \geq 0 \quad\Rightarrow\quad x \geq 3$

Ejemplo 3: función logarítmica

Halla el dominio de f(x) = ln(x + 1).

El argumento debe ser estrictamente mayor que 0:

$x + 1 > 0 \quad\Rightarrow\quad x > -1$

2. Continuidad en un punto

Una función f es continua en x = a si se cumplen estas tres condiciones a la vez:

1. f(a) existe (la función está definida en ese punto).
2. Existe el límite de f(x) cuando x tiende a a (los límites laterales, por la izquierda y por la derecha, coinciden).
3. Ese límite coincide con f(a).

$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$

Tipos de discontinuidad

• Evitable. Existe el límite pero no coincide con f(a), o f(a) no existe. Se "arreglaría" redefiniendo un único punto.
• De salto. Los dos límites laterales existen pero son distintos entre sí.
• Asintótica (de salto infinito). Al menos uno de los límites laterales es infinito (está relacionada con las asíntotas verticales).

Ejemplo: estudiar la continuidad de una función a trozos

Estudia la continuidad en x = 1 de:

$f(x) = \begin{cases} x+1 & \text{si } x < 1 \\ 3-x & \text{si } x \geq 1 \end{cases}$

Paso 1. Valor de la función. f(1) = 3 − 1 = 2.

Paso 2. Límite por la izquierda.

$\lim_{x \to 1^-} (x+1) = 2$

Paso 3. Límite por la derecha.

$\lim_{x \to 1^+} (3-x) = 2$

3. Derivabilidad en un punto

Una función f es derivable en x = a si existe el siguiente límite (y es finito):

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

Ese límite es la pendiente de la recta tangente a la gráfica en el punto a. De forma equivalente, f es derivable en a si las derivadas laterales existen y coinciden.

La relación clave: derivabilidad y continuidad

Ejemplo: f(x) = |x| en x = 0 (continua pero no derivable)

El valor absoluto es continua en todo ℝ, incluido x = 0. Pero calculemos sus derivadas laterales en ese punto:

$f(x) = \begin{cases} -x & \text{si } x < 0 \\ x & \text{si } x \geq 0 \end{cases}$

Derivada por la izquierda: la función vale −x, así que su derivada es −1.

$f'(0^-) = -1$

Derivada por la derecha: la función vale x, así que su derivada es 1.

$f'(0^+) = +1$

Además del "pico", hay otro caso típico de no derivabilidad en un punto continuo: cuando la recta tangente es vertical (por ejemplo, la raíz cúbica en x = 0), la derivada tiende a infinito y tampoco existe como número finito.

4. Ejemplo resuelto: hallar parámetros para continuidad y derivabilidad

Este tipo de ejercicio es muy habitual en Bachillerato: te piden calcular a y b para que una función a trozos sea continua y derivable en el punto de unión.

Halla a y b para que la siguiente función sea continua y derivable en x = 1:

$f(x) = \begin{cases} x^2+1 & \text{si } x \leq 1 \\ ax+b & \text{si } x > 1 \end{cases}$

Paso 1. Continuidad en x = 1. Los dos trozos deben dar el mismo valor en x = 1:

$1^2+1 = a(1)+b \quad\Rightarrow\quad a+b=2$

Paso 2. Derivabilidad en x = 1. Las derivadas de los dos trozos deben coincidir en x = 1. La derivada de x²+1 es 2x (que en x = 1 vale 2); la derivada de ax+b es a:

$2(1) = a \quad\Rightarrow\quad a=2$

Paso 3. Sustituimos en la ecuación de continuidad.

$2+b=2 \quad\Rightarrow\quad b=0$

5. Errores frecuentes

• ⚠️ Confundir "estar definida" con "ser continua". Que f(a) exista no basta: además el límite debe existir y coincidir con f(a).
• ⚠️ Usar ≥ en un logaritmo o ≤/≥ mal en una raíz. El radicando de una raíz par exige ≥ 0; el argumento de un logaritmo exige > 0, estrictamente. No son la misma condición.
• ⚠️ Pensar que continuidad implica derivabilidad. Es al revés: derivable ⇒ continua, pero continua no implica derivable (como |x| en x = 0).
• ⚠️ Olvidar comprobar los dos límites laterales. En una función a trozos hay que calcular el límite por la izquierda Y por la derecha del punto de unión, no solo uno.
• ⚠️ Excluir del dominio de una racional solo "a ojo". Hay que resolver realmente la ecuación denominador = 0, incluso si el numerador tiene factores parecidos.

6. 📌 En 30 segundos

1. Dominio: mira el tipo de función (racional → denominador ≠ 0; raíz par → radicando ≥ 0; logaritmo → argumento > 0).
2. Continuidad en x = a: comprueba que f(a) existe, que el límite existe (los dos laterales coinciden) y que ese límite es igual a f(a).
3. Derivabilidad en x = a: comprueba que las derivadas laterales existen y coinciden.
4. Recuerda siempre: derivable ⇒ continua, pero continua NO implica derivable.
5. En ejercicios de "halla a y b": primero impone continuidad (igualar los trozos), luego deriva cada trozo e impón que las derivadas también coincidan.