Integrales: indefinida, definida y cálculo de áreas

Introducción

Si derivar es calcular cómo cambia una función, integrar es el camino inverso: reconstruir la función a partir de su cambio. Y tiene una aplicación geométrica preciosa: la integral definida calcula áreas bajo una curva. Se usa para hallar la distancia recorrida a partir de la velocidad, el trabajo de una fuerza, el volumen de un depósito o la carga acumulada.

En este artículo aprenderás la integral indefinida y la tabla de integrales básicas, el cambio de variable y la integración por partes, la integral definida con la regla de Barrow y el cálculo de áreas, con ejemplos resueltos. Conviene dominar antes las derivadas.

1. Primitiva e integral indefinida

Una primitiva de $f(x)$ es una función $F(x)$ cuya derivada es $f(x)$. Como la derivada de una constante es 0, si $F$ es una primitiva, $F + C$ también lo es para cualquier constante $C$. El conjunto de todas las primitivas se llama integral indefinida:

$\int f(x)\,dx = F(x) + C \qquad \text{donde } F'(x) = f(x)$

2. Integrales básicas y propiedades

• $\displaystyle\int k\,dx = kx + C$
• $\displaystyle\int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$ si $n \neq -1$
• $\displaystyle\int \dfrac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$
• $\displaystyle\int e^x\,dx = e^x + C$ y $\displaystyle\int a^x\,dx = \dfrac{a^x}{\ln a} + C$
• $\displaystyle\int \sin x\,dx = -\cos x + C$ y $\displaystyle\int \cos x\,dx = \sin x + C$
• $\displaystyle\int \dfrac{1}{1 + x^2}\,dx = \arctan x + C$

La integral es lineal: se integra término a término y las constantes salen fuera, $\int (a f + b g) = a\int f + b\int g$.

Ejemplo 1. Calcula $\int (4x^3 - 6x + 5)\,dx$. Se integra cada término con la regla de la potencia:

$\int (4x^3 - 6x + 5)\,dx = x^4 - 3x^2 + 5x + C$

Se comprueba derivando el resultado: $(x^4 - 3x^2 + 5x)' = 4x^3 - 6x + 5$, que es la función original.

3. Cambio de variable (sustitución)

Cuando el integrando tiene una función «dentro» de otra y aparece, multiplicando, su derivada, se llama $u$ a la función interior y se transforma la integral. Es la regla de la cadena al revés.

Ejemplo 2. Calcula $\int 2x\,e^{x^2}\,dx$. Se toma $u = x^2$, con lo que $du = 2x\,dx$:

$\int 2x\,e^{x^2}\,dx = \int e^{u}\,du = e^{u} + C = e^{x^2} + C$

Ejemplo 3. Calcula $\int (3x + 1)^5\,dx$. Con $u = 3x + 1$ se tiene $du = 3\,dx$, es decir, $dx = du/3$:

$\int (3x+1)^5\,dx = \frac{1}{3}\int u^5\,du = \frac{1}{3}\cdot\frac{u^6}{6} + C = \frac{(3x+1)^6}{18} + C$

4. Integración por partes

Se usa para productos de funciones de tipos distintos (un polinomio por una exponencial, un seno o un logaritmo). Procede de la regla del producto de la derivada:

$\int u\,dv = u\,v - \int v\,du$

Ejemplo 4. Calcula $\int x\,e^x\,dx$. Se elige $u = x$ (que al derivar se simplifica) y $dv = e^x\,dx$, de modo que $du = dx$ y $v = e^x$:

$\int x\,e^x\,dx = x\,e^x - \int e^x\,dx = x\,e^x - e^x + C = e^x\,(x - 1) + C$

5. Integral definida y regla de Barrow

La integral definida $\int_a^b f(x)\,dx$ es un número: el área con signo entre la gráfica de $f$ y el eje $X$ en el intervalo $[a, b]$. Se calcula con la regla de Barrow: se busca una primitiva $F$ y se evalúa en los extremos.

$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$

Ejemplo 5. Calcula $\int_0^2 (3x^2 + 1)\,dx$. Una primitiva es $F(x) = x^3 + x$:

$\int_0^2 (3x^2 + 1)\,dx = \Big[x^3 + x\Big]_0^2 = (8 + 2) - (0 + 0) = 10$

6. Cálculo de áreas

El área limitada por la gráfica de $f$, el eje $X$ y las rectas $x = a$ y $x = b$ es la integral definida si $f \geq 0$ en todo el intervalo. Si $f$ cambia de signo, la parte negativa resta, y hay que partir el intervalo en los puntos de corte y sumar los valores absolutos de cada trozo.

Ejemplo 6: área bajo una parábola. Área limitada por $y = x^2$, el eje $X$ y la recta $x = 3$:

$A = \int_0^3 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^3 = \frac{27}{3} - 0 = 9$

Ejemplo 7: área entre dos curvas. Área encerrada entre $y = x$ e $y = x^2$. Primero se buscan los puntos de corte: $x = x^2$ da $x = 0$ y $x = 1$. En $[0, 1]$ la recta está por encima de la parábola, así que:

$A = \int_0^1 (x - x^2)\,dx = \left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$

El área entre curvas es la integral de la función de arriba menos la de abajo.

Ejemplo 8: ¡cuidado con el signo! La integral de $\sin x$ entre $0$ y $2\pi$ vale 0, porque el trozo de $0$ a $\pi$ es positivo y el de $\pi$ a $2\pi$ es negativo y se cancelan. Pero el área no es 0:

$\int_0^{\pi} \sin x\,dx = \Big[-\cos x\Big]_0^{\pi} = 2 \qquad A = 2 + |-2| = 4$

7. Errores frecuentes

• ⚠️ Olvidar la constante $C$ en la integral indefinida. La respuesta debe ser una familia de funciones, $F(x) + C$
• ⚠️ Aplicar la regla de la potencia a $\int \frac{1}{x}\,dx$. Con $n = -1$ la fórmula daría división por cero; la integral es $\ln|x| + C$
• ⚠️ Pensar que la integral de un producto es el producto de las integrales. $\int f\,g \neq \int f \cdot \int g$; hace falta cambio de variable o partes
• ⚠️ Confundir integral definida con área. Si $f$ cambia de signo en el intervalo, la integral resta las partes negativas; para el área hay que partir el intervalo
• ⚠️ Restar al revés en la regla de Barrow. Es $F(b) - F(a)$: valor en el extremo superior menos valor en el inferior

8. 📌 En 30 segundos

1. Integrar es el camino inverso a derivar: $\int f = F + C$ con $F' = f$.
2. Potencias: $\int x^n = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ si $n \neq -1$; para $n = -1$, $\ln|x| + C$.
3. Sustitución: la regla de la cadena al revés. Partes: $\int u\,dv = uv - \int v\,du$.
4. Regla de Barrow: $\int_a^b f = F(b) - F(a)$.
5. Área entre curvas: $\int_a^b (f_{\text{arriba}} - f_{\text{abajo}})\,dx$; si hay cambio de signo, se parte el intervalo.

Para seguir estudiando

• Derivadas: reglas de derivación y ejemplos resueltos
• Dominio, continuidad y derivabilidad de una función
• Funciones definidas a trozos: continuidad y derivabilidad (ejercicios resueltos)