Funciones definidas a trozos: continuidad y derivabilidad (ejercicios resueltos)

Introducción

Las funciones definidas a trozos (con una fórmula distinta según el intervalo) son las preferidas de los exámenes de selectividad: el interés está en el punto donde cambia la fórmula, porque es ahí donde puede romperse la continuidad o la derivabilidad. Los enunciados suelen pedir dos cosas: estudiar si la función es continua o derivable, o calcular un parámetro para que lo sea.

En este artículo tienes un método de cuatro pasos y seis ejercicios resueltos, de menor a mayor dificultad. Si necesitas repasar los conceptos antes, lee dominio, continuidad y derivabilidad de una función, y para practicar más, descarga la colección de ejercicios de continuidad y derivabilidad.

1. El método

Sea $f$ definida a trozos y $a$ el punto donde cambia la fórmula.

1. Continuidad en $a$. Hay que comprobar que $\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$: los dos límites laterales existen, coinciden entre sí y coinciden con el valor de la función en $a$.
2. Derivabilidad en $a$. Solo tiene sentido si es continua. Se derivan por separado los dos trozos y se comparan las derivadas laterales $f'(a^-)$ y $f'(a^+)$: deben ser iguales.
3. Parámetros. Cada condición (continuidad, derivabilidad) da una ecuación. Con dos parámetros hacen falta las dos.
4. Interpretación. Si es continua pero las derivadas laterales no coinciden, la gráfica tiene un «pico» (punto anguloso).

2. Ejercicios resueltos

Ejercicio 1. Calcular un parámetro por continuidad. Halla $a$ para que $f$ sea continua en $x = 1$, y estudia después si es derivable.

$f(x) = \begin{cases} x^2 + a x & \text{si } x \leq 1 \\ 3x - 2 & \text{si } x > 1 \end{cases}$

Se calculan los dos límites laterales en $x = 1$ y se igualan:

$\lim_{x \to 1^-} (x^2 + ax) = 1 + a \qquad \lim_{x \to 1^+} (3x - 2) = 1 \qquad 1 + a = 1 \Rightarrow a = 0$

Con $a = 0$ es continua. Para la derivabilidad se comparan las derivadas laterales: por la izquierda, $f'(x) = 2x + a$, que en $x = 1$ vale $2$; por la derecha, $f'(x) = 3$.

$f'(1^-) = 2 \neq 3 = f'(1^+)$

Las derivadas laterales no coinciden: es continua pero no derivable en $x = 1$ (la gráfica tiene un pico).

Ejercicio 2. Continuidad y derivabilidad a la vez. Halla $a$ y $b$ para que $f$ sea continua y derivable en $x = 2$.

$f(x) = \begin{cases} a x^2 + b & \text{si } x < 2 \\ 3x - 1 & \text{si } x \geq 2 \end{cases}$

Hay dos incógnitas, así que se necesitan dos ecuaciones. Continuidad: los límites laterales deben coincidir con $f(2) = 3 \cdot 2 - 1 = 5$.

$4a + b = 5$

Derivabilidad: se derivan los dos trozos, $f'(x) = 2ax$ para $x < 2$ y $f'(x) = 3$ para $x > 2$, y se igualan en $x = 2$:

$2a \cdot 2 = 3 \Rightarrow 4a = 3 \Rightarrow a = \frac{3}{4}$

Sustituyendo en la primera ecuación: $4 \cdot \tfrac{3}{4} + b = 5$, luego $3 + b = 5$ y $b = 2$. La función queda $f(x) = \tfrac{3}{4}x^2 + 2$ para $x < 2$ y $f(x) = 3x - 1$ para $x \geq 2$.

Con a = 3/4 y b = 2 los dos trozos se unen en (2, 5) sin pico: la función es derivable.

Ejercicio 3. Discontinuidad evitable. Halla $k$ para que $f$ sea continua en $x = 1$.

$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 - 1}{x - 1} & \text{si } x \neq 1 \\ k & \text{si } x = 1 \end{cases}$

Para $x \neq 1$ se puede simplificar, porque $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$:

$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 2$

Para que sea continua, $f(1) = k$ debe valer lo mismo que el límite: $k = 2$. Si $k$ fuera cualquier otro valor, habría una discontinuidad evitable: la gráfica tendría un hueco que se arregla redefiniendo un solo punto.

Ejercicio 4. Valor absoluto. Estudia la continuidad y la derivabilidad de $f(x) = |x - 3|$ en $x = 3$.

Se reescribe como función a trozos: $f(x) = x - 3$ si $x \geq 3$ y $f(x) = 3 - x$ si $x < 3$. Los dos trozos valen 0 en $x = 3$, luego es continua. Las derivadas son distintas:

$f'(3^-) = -1 \qquad f'(3^+) = 1$

No coinciden, así que no es derivable en $x = 3$: la gráfica forma una «V» con el vértice en ese punto.

Ejercicio 5. Clasificar una discontinuidad. Estudia la continuidad de $f$ en $x = 1$.

$f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{si } x < 1 \\ 3 & \text{si } x = 1 \\ 2x - 1 & \text{si } x > 1 \end{cases}$

$\lim_{x \to 1^-} x^2 = 1 \qquad \lim_{x \to 1^+} (2x - 1) = 1 \qquad f(1) = 3$

Los límites laterales existen y coinciden (valen 1), pero no coinciden con $f(1) = 3$. Es una discontinuidad evitable: bastaría con definir $f(1) = 1$ para que fuese continua.

Ejercicio 6. Con exponencial. Halla $a$ para que $f$ sea continua en $x = 0$ y estudia su derivabilidad.

$f(x) = \begin{cases} e^x + a & \text{si } x \leq 0 \\ 2x + 3 & \text{si } x > 0 \end{cases}$

Continuidad: $\lim_{x \to 0^-} (e^x + a) = 1 + a$ y $\lim_{x \to 0^+} (2x + 3) = 3$. Igualando, $1 + a = 3$ y $a = 2$. Derivabilidad: $f'(x) = e^x$ por la izquierda, que en 0 vale $1$, y $f'(x) = 2$ por la derecha.

$f'(0^-) = 1 \neq 2 = f'(0^+)$

Es continua pero no derivable en $x = 0$.

3. Los tres tipos de discontinuidad

4. Errores frecuentes

• ⚠️ Comprobar solo uno de los dos límites laterales. La continuidad exige los dos límites laterales y el valor de la función; con uno solo no basta
• ⚠️ Derivar la función entera de golpe. En una función a trozos se derivan los trozos por separado y se comparan las derivadas laterales en el punto
• ⚠️ Estudiar la derivabilidad sin comprobar la continuidad. Si no es continua en el punto, no puede ser derivable: no hace falta ni derivar
• ⚠️ Igualar las derivadas de los trozos como funciones. Hay que sustituir $x = a$ y comparar los dos números que resultan
• ⚠️ Confundir «derivada nula» con «no derivable». Que una derivada valga 0 no es ningún problema; el problema es que las laterales sean distintas

5. 📌 En 30 segundos

1. Continua en $a$: $\lim_{x \to a^-} f = \lim_{x \to a^+} f = f(a)$.
2. Derivable en $a$: continua y con $f'(a^-) = f'(a^+)$ (se derivan los trozos por separado).
3. Con parámetros: cada condición da una ecuación (continuidad, y derivabilidad si se pide).
4. Continua pero no derivable: la gráfica tiene un pico, como $|x|$ en 0.
5. Discontinuidades: evitable, de salto finito o de salto infinito.

Para seguir estudiando

• Dominio, continuidad y derivabilidad de una función
• Derivadas: reglas de derivación y ejemplos resueltos
• Asíntotas de una función