Límites de funciones: cálculo, indeterminaciones y ejemplos resueltos

Introducción

El límite es la herramienta que permite estudiar qué le ocurre a una función cuando $x$ se acerca a un valor (o crece sin fin). Es la base de la continuidad, de las asíntotas, de las derivadas y de las integrales: sin límites no hay Análisis.

Aquí aprenderás a calcular límites de polinomios, cocientes, raíces y potencias, a resolver las indeterminaciones más habituales y a usar los límites laterales, con siete ejemplos resueltos. Después puedes aplicarlos en asíntotas, continuidad y derivadas.

1. Idea de límite

Escribimos $\lim_{x \to a} f(x) = L$ si, al acercarse $x$ a $a$ (por cualquiera de los dos lados), los valores $f(x)$ se acercan a $L$. Lo importante es el comportamiento cerca de $a$: $f$ puede ni siquiera estar definida en $a$.

Por ejemplo, $f(x) = \dfrac{x^2 - 9}{x - 3}$ no existe en $x = 3$, pero si calculamos valores cercanos se ve el comportamiento:

Dos ejemplos de límite: en un punto (izquierda) y en el infinito (derecha).

Los valores se acercan a 6 por ambos lados: $\lim_{x \to 3} f(x) = 6$.

2. Reglas básicas y tabla de resultados

Si los límites de $f$ y $g$ existen, el límite de una suma, un producto o un cociente (con denominador no nulo) es la suma, el producto o el cociente de los límites. En un polinomio basta con sustituir. Cuando al sustituir sale una expresión del tipo $k/0$ o aparece infinito, se usan estos resultados:

3. Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: 0/0 en un cociente de polinomios

Calcula $\lim_{x \to 3} \dfrac{x^2 - 9}{x - 3}$. Al sustituir sale $0/0$. Se factoriza el numerador y se simplifica:

$\lim_{x \to 3} \frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} = \lim_{x \to 3} (x + 3) = 6$

Ejemplo 2: ∞/∞ en el infinito

Calcula $\lim_{x \to \infty} \dfrac{3x^2 + 2x}{x^2 - 1}$. Se divide numerador y denominador entre la mayor potencia, $x^2$:

$\lim_{x \to \infty} \frac{3 + 2/x}{1 - 1/x^2} = \frac{3 + 0}{1 - 0} = 3$

Regla práctica para un cociente de polinomios en $\infty$: si el grado del numerador es menor, el límite es 0; si son iguales, es el cociente de los coeficientes líderes; si es mayor, es $\pm\infty$.

Ejemplo 3: 0/0 con una raíz (conjugado)

Calcula $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x + 4} - 2}{x}$. Se multiplica por el conjugado del numerador:

$\frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x} \cdot \frac{\sqrt{x + 4} + 2}{\sqrt{x + 4} + 2} = \frac{(x + 4) - 4}{x\,(\sqrt{x + 4} + 2)} = \frac{1}{\sqrt{x + 4} + 2} \;\to\; \frac{1}{4}$

Ejemplo 4: ∞ − ∞

Calcula $\lim_{x \to \infty} \left(\sqrt{x^2 + x} - x\right)$. De nuevo el conjugado:

$\left(\sqrt{x^2 + x} - x\right)\frac{\sqrt{x^2 + x} + x}{\sqrt{x^2 + x} + x} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + x} + x} = \frac{1}{\sqrt{1 + 1/x} + 1} \;\to\; \frac{1}{2}$

Ejemplo 5: 1^∞ y el número e

Calcula $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \dfrac{3}{x}\right)^x$. Recuerda el límite notable $\lim_{u \to \infty}(1 + 1/u)^u = e$. Con el cambio $u = x/3$:

$\left(1 + \frac{3}{x}\right)^x = \left[\left(1 + \frac{1}{u}\right)^u\right]^3 \;\to\; e^3$

Ejemplo 6: límites notables trigonométricos

$\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{sen} x}{x} = 1 \qquad \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$

El segundo se deduce del primero: $1 - \cos x = 2\operatorname{sen}^2(x/2)$.

Ejemplo 7: límites laterales

¿Existe $\lim_{x \to 0} \dfrac{|x|}{x}$? Para $x > 0$, $|x|/x = 1$; para $x < 0$, $|x|/x = -1$:

$\lim_{x \to 0^+} \frac{|x|}{x} = 1 \neq -1 = \lim_{x \to 0^-} \frac{|x|}{x}$

Como los límites laterales son distintos, no existe el límite. En cambio, $\lim_{x \to 2^+} \dfrac{1}{x - 2} = +\infty$ y $\lim_{x \to 2^-} \dfrac{1}{x - 2} = -\infty$: hay una asíntota vertical en $x = 2$.

4. Jerarquía de infinitos

Cuando en un cociente aparecen funciones distintas que tienden a infinito, gana la que «crece más deprisa». El orden, de menor a mayor crecimiento, es: logaritmo, potencia, exponencial. Eso permite resolver sin más cuentas muchos límites del tipo $\infty/\infty$:

Esta jerarquía es muy útil en asíntotas y en el estudio de funciones: por ejemplo, $f(x) = x\,e^{-x}$ tiene límite 0 en $+\infty$ porque $e^{x}$ domina a $x$, y por tanto el eje $OX$ es una asíntota horizontal.

5. Errores frecuentes

• ⚠️ Dar por indeterminado un límite que ya está resuelto. Si sustituyes y sale $k/0$ con $k \neq 0$, el resultado es $\pm\infty$, no una indeterminación
• ⚠️ Cancelar términos en lugar de factores. Solo se simplifican factores: $\frac{x^2 - 9}{x - 3}$ no es $\frac{x^2}{x}$
• ⚠️ Olvidar los límites laterales. Si los dos lados dan resultados distintos, el límite no existe
• ⚠️ Decir que $\infty - \infty = 0$. Es una indeterminación: hay que transformar la expresión (conjugado, factor común)
• ⚠️ Confundir el límite con el valor de la función. $f(a)$ puede no existir o ser distinto del límite

6. 📌 En 30 segundos

1. El límite describe a qué valor se acerca $f(x)$ cuando $x \to a$ (o $\to \infty$).
2. En un polinomio se sustituye; $k/0 \to \pm\infty$; $k/\infty \to 0$.
3. $0/0$ y $\infty/\infty$: factoriza, divide entre la mayor potencia o multiplica por el conjugado.
4. $1^{\infty}$: usa $\lim (1 + 1/u)^u = e$.
5. Si los límites laterales no coinciden, el límite no existe.

Para seguir estudiando

• Dominio, continuidad y derivabilidad de una función
• Asíntotas de una función
• Derivadas: reglas de derivación y ejemplos resueltos