Números cuánticos: qué son y cómo usarlos

Introducción

Un electrón de un átomo no se mueve en una órbita como un planeta: ocupa un orbital, una región del espacio donde es más probable encontrarlo. Para describir a un electrón se necesitan cuatro números cuánticos, que funcionan como la dirección de una vivienda: el edificio ($n$), la planta ($l$), la puerta ($m_l$) y, por último, el sentido de giro del electrón ($m_s$).

En este artículo aprenderás qué significa cada uno, qué valores puede tomar, cuántos orbitales y electrones caben en cada capa y cómo resolver los ejercicios típicos de PAU, con ejemplos resueltos. Después puedes practicar con la colección de ejercicios de números cuánticos, y combinarlo con la configuración electrónica.

1. Los cuatro números cuánticos

2. Cuántos orbitales y electrones caben en cada capa

Combinando las reglas anteriores se obtiene la capacidad de cada capa. Las cantidades que salen son $n^2$ orbitales y $2n^2$ electrones por capa:

Se ha comprobado contando todas las combinaciones permitidas de $(n, l, m_l, m_s)$ para cada capa: salen 2, 8, 18 y 32 electrones respectivamente.

Cada casilla es un orbital y admite dos electrones con espines opuestos.

3. El principio de exclusión de Pauli

No puede haber dos electrones con los cuatro números cuánticos iguales. Como consecuencia, en un mismo orbital (mismos $n$, $l$ y $m_l$) solo caben dos electrones, y deben tener espines opuestos: uno con $m_s = +\tfrac{1}{2}$ y otro con $m_s = -\tfrac{1}{2}$.

4. Ejercicios resueltos

Ejercicio 1. ¿Son posibles estos conjuntos $(n, l, m_l, m_s)$? Razona la respuesta.

Ejercicio 2. ¿Cuántos orbitales y cuántos electrones como máximo hay en la capa $n = 3$?

Hay $n^2 = 9$ orbitales (uno $3s$, tres $3p$ y cinco $3d$) y, como cada uno admite dos electrones, $2n^2 = 18$ electrones como máximo.

Ejercicio 3. Indica los números cuánticos del electrón de valencia del sodio ($Z = 11$, $1s^2\,2s^2\,2p^6\,3s^1$).

El electrón de valencia está en el orbital $3s$: $n = 3$, $l = 0$ (subnivel $s$), $m_l = 0$ (el único valor posible) y $m_s = +\tfrac{1}{2}$ o $-\tfrac{1}{2}$ (por convenio se suele tomar $+\tfrac{1}{2}$):

$(n,\,l,\,m_l,\,m_s) = \left(3,\ 0,\ 0,\ +\tfrac{1}{2}\right)$

Ejercicio 4. Escribe un conjunto de números cuánticos para cada uno de los cuatro electrones $2p$ del oxígeno ($2p^4$).

Los tres orbitales $2p$ tienen $m_l = -1, 0, +1$. Según la regla de Hund, primero se ocupa cada orbital con un electrón de espín paralelo y después se empareja el cuarto. Una posibilidad es:

$\left(2{,}1,-1,+\tfrac{1}{2}\right)\quad\left(2{,}1{,}0,+\tfrac{1}{2}\right)\quad\left(2{,}1,+1,+\tfrac{1}{2}\right)\quad\left(2{,}1,-1,-\tfrac{1}{2}\right)$

El último electrón comparte el orbital $m_l = -1$ con el primero, pero con espín opuesto, así que ningún conjunto se repite (se cumple Pauli).

Ejercicio 5. ¿A qué orbital corresponde $(4, 2, 1, -\tfrac{1}{2})$ y cuántos electrones caben en su subnivel?

Con $n = 4$ y $l = 2$, es un orbital 4d. El subnivel $d$ tiene $2l + 1 = 5$ orbitales, así que caben $5 \cdot 2 = 10$ electrones.

5. Errores frecuentes

• ⚠️ Dar a $l$ un valor igual o mayor que $n$. El máximo valor de $l$ es $n - 1$: en la capa 1 solo existe el subnivel $s$
• ⚠️ Dar a $m_l$ un valor fuera del rango $[-l, +l]$. El subnivel $p$ ($l = 1$) solo tiene $m_l = -1, 0, 1$
• ⚠️ Olvidar que el espín solo toma dos valores. $m_s$ es $+\tfrac{1}{2}$ o $-\tfrac{1}{2}$, nunca 0 ni 1
• ⚠️ Poner dos electrones con espín paralelo en el mismo orbital. Lo prohíbe el principio de Pauli: en un orbital, los dos electrones tienen espines opuestos
• ⚠️ Confundir $n^2$ y $2n^2$. $n^2$ es el número de orbitales de la capa; $2n^2$, el número máximo de electrones

6. 📌 En 30 segundos

1. $n = 1, 2, 3...$ (capa); $l = 0, ..., n-1$ (subnivel: s, p, d, f); $m_l = -l, ..., +l$ (orbital); $m_s = \pm\tfrac{1}{2}$ (espín).
2. Un subnivel $l$ tiene $2l + 1$ orbitales; una capa $n$ tiene $n^2$ orbitales y $2n^2$ electrones.
3. Pauli: no hay dos electrones con los cuatro números iguales; en un orbital caben dos con espines opuestos.
4. Para validar un conjunto, comprueba por este orden: $n \geq 1$, $0 \leq l \leq n-1$, $-l \leq m_l \leq l$ y $m_s = \pm\tfrac{1}{2}$.
5. Orden de energía por $n + l$ (desempata el menor $n$): $1s < 2s < 2p < 3s < 3p < 4s < 3d < 4p$.

Para seguir estudiando

• Configuración electrónica de un átomo
• Propiedades periódicas: radio atómico, energía de ionización, afinidad electrónica y electronegatividad
• Propiedades periódicas: ejercicios de selectividad resueltos