Movimiento circular uniforme: velocidad angular, aceleración centrípeta y problemas resueltos

Introducción

Un coche que toma una rotonda, la aguja de un reloj, un CD, la Luna alrededor de la Tierra: todos describen una trayectoria circular. Cuando además lo hacen con rapidez constante, se trata de un movimiento circular uniforme (MCU).

Aunque la rapidez no cambie, la velocidad sí: su dirección varía en cada instante, y por eso existe una aceleración. En este artículo aprenderás las magnitudes angulares, la aceleración centrípeta y cómo resolver cinco tipos de problemas. Si necesitas repasar el movimiento rectilíneo, empieza por Cinemática: MRU y MRUA.

1. Magnitudes del movimiento circular

En el MCU la velocidad es tangente a la trayectoria y la aceleración apunta al centro.

• Periodo $T$: tiempo que tarda en dar una vuelta completa, en segundos.
• Frecuencia $f = 1/T$: número de vueltas por segundo, en hercios (Hz). Muchas veces se da en rpm (revoluciones por minuto): $1\ \text{rpm} = 2\pi/60\ \text{rad/s}$.
• Velocidad angular $\omega = \Delta\varphi/\Delta t = 2\pi/T = 2\pi f$, en rad/s.
• Velocidad lineal $v = \omega R$, en m/s: cuanto mayor es el radio, mayor es la velocidad lineal para la misma $\omega$.
• Posición angular: $\varphi = \varphi_0 + \omega t$ (la ecuación del MRU, pero con ángulos).

$\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f \qquad v = \omega R \qquad \varphi = \varphi_0 + \omega\,t$

2. Aceleración y fuerza centrípetas

Como el vector velocidad cambia de dirección, hay aceleración, aunque su módulo no cambie. Esa aceleración apunta siempre hacia el centro de la circunferencia (por eso se llama centrípeta) y vale:

$a_c = \frac{v^2}{R} = \omega^2 R$

Según la segunda ley de Newton, para que un cuerpo describa una circunferencia tiene que haber una fuerza neta hacia el centro: $F_c = m\,a_c = m\,v^2/R$. La fuerza centrípeta no es una fuerza nueva, sino el nombre de la resultante hacia el centro: puede ser la tensión de una cuerda, el rozamiento de los neumáticos, la gravedad (en una órbita) o la normal.

3. Problemas resueltos

Problema 1: un disco

Un disco de 6 cm de radio gira a 500 rpm. Calcula $\omega$, la velocidad lineal y la aceleración centrípeta en su borde.

$\omega = 500 \cdot \frac{2\pi}{60} \approx 52{,}36\ \text{rad/s}$

$v = \omega R = 52{,}36 \cdot 0{,}06 \approx 3{,}14\ \text{m/s} \qquad a_c = \omega^2 R = 52{,}36^2 \cdot 0{,}06 \approx 164{,}5\ \text{m/s}^2$

Comprobación con la otra fórmula: $v^2/R = 3{,}14^2/0{,}06 \approx 164{,}5$ m/s². La aceleración es unas 17 veces la de la gravedad.

Problema 2: velocidad máxima en una curva

Un coche toma una curva plana de 50 m de radio. El coeficiente de rozamiento entre los neumáticos y el asfalto es $\mu = 0{,}6$. ¿Cuál es la velocidad máxima sin derrapar?

La única fuerza horizontal es el rozamiento, que actúa de fuerza centrípeta. Como $N = mg$, el rozamiento máximo es $\mu m g$:

$\mu\,m\,g = \frac{m\,v^2}{R} \;\Rightarrow\; v_{\max} = \sqrt{\mu\,g\,R} = \sqrt{0{,}6 \cdot 9{,}8 \cdot 50} \approx 17{,}1\ \text{m/s} \approx 61{,}7\ \text{km/h}$

La masa se cancela: la velocidad máxima no depende de lo pesado que sea el coche, pero sí del radio y del estado del asfalto (con lluvia baja $\mu$ y baja la velocidad límite).

Problema 3: la rotación de la Tierra

La Tierra gira una vez cada 86 164 s (día sideral). ¿Qué velocidad lineal y qué aceleración centrípeta tiene un punto del ecuador ($R = 6371$ km)?

$\omega = \frac{2\pi}{86\,164} \approx 7{,}29 \cdot 10^{-5}\ \text{rad/s} \qquad v = \omega R \approx 464\ \text{m/s} \approx 1670\ \text{km/h}$

$a_c = \omega^2 R \approx 0{,}034\ \text{m/s}^2$

Esa aceleración es unas 290 veces menor que $g$: por eso no notamos que estamos girando.

Problema 4: vueltas y posición angular

Una noria tarda 0,8 s en dar una vuelta (es un modelo a escala). ¿Cuánto tardará en dar 10 vueltas y qué ángulo ha recorrido a los 3 s?

$t_{10} = 10\,T = 8\ \text{s} \qquad \omega = \frac{2\pi}{0{,}8} = 7{,}85\ \text{rad/s} \qquad \varphi(3) = 7{,}85 \cdot 3 = 7{,}5\,\pi\ \text{rad}$

Dividiendo entre $2\pi$: $7{,}5\pi/(2\pi) = 3{,}75$ vueltas, es decir, 3 vueltas completas más tres cuartos de vuelta.

Problema 5: dos ruedas unidas por una correa

Una rueda de 10 cm de radio gira a 60 rad/s y está unida por una correa a otra de 30 cm de radio. ¿A qué velocidad angular gira la segunda? La correa no desliza, así que los puntos del borde de las dos ruedas tienen la misma velocidad lineal:

$\omega_A R_A = \omega_B R_B \;\Rightarrow\; \omega_B = \omega_A \frac{R_A}{R_B} = 60 \cdot \frac{0{,}10}{0{,}30} = 20\ \text{rad/s}$

La rueda grande gira más despacio: $f_B = 20/(2\pi) \approx 3{,}2$ Hz frente a $f_A \approx 9{,}5$ Hz.

4. Errores frecuentes

• ⚠️ Pensar que en el MCU no hay aceleración. La velocidad cambia de dirección, así que hay aceleración centrípeta $a_c = v^2/R$
• ⚠️ Mezclar rpm, Hz y rad/s. Convierte siempre a rad/s: $1\ \text{rpm} = 2\pi/60\ \text{rad/s}$
• ⚠️ Usar grados con $\omega$ en rad/s. El ángulo en las fórmulas debe estar en radianes
• ⚠️ Dibujar la aceleración tangente a la trayectoria. En el MCU apunta hacia el centro, perpendicular a la velocidad
• ⚠️ Hablar de «fuerza centrífuga» como fuerza real. Es un efecto de la inercia; la fuerza real es la centrípeta

5. 📌 En 30 segundos

1. MCU: trayectoria circular con rapidez constante; $T$ es el tiempo de una vuelta y $f = 1/T$.
2. $\omega = 2\pi/T$ (rad/s), $v = \omega R$ y $\varphi = \varphi_0 + \omega t$.
3. Aceleración centrípeta: $a_c = v^2/R = \omega^2 R$, dirigida al centro.
4. Fuerza centrípeta: $F_c = m v^2/R$; es la resultante hacia el centro (tensión, rozamiento, gravedad...).
5. Ruedas unidas por correa: misma $v$ en el borde, $\omega_A R_A = \omega_B R_B$.

Para seguir estudiando

• Cinemática: MRU y MRUA
• Leyes de Newton y dinámica
• Energía mecánica: conservación y variación